王大虎

王大虎:支座位移时的位移计算

王大虎

静定结构发生支座位移时,结构不产生反力、内力,也不发生变形,但会产生刚X移。相应的计算公式可由静定结构位移计算一般公式推得:

 

式中,ΔKc表示由支座位移引起的位移,表示虚设力状态下结构的支座反力,c表示实际位移状态下与相应的支座位移。与c方向一致时作功为正,反之为负。

例6-6 图6-15(a)所示结构B支座沉陷Δ=0.01 m,试求C点的水平位移。

图6-15

 

[解] 虚设力状态如图6-15(b)所示,根据支座位移引起的位移计算公式(6-17),只需要求出虚设力状态中与实际状态发生支座位移的对应支座反力即可。由此可得:

 

 

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6.8 互等定理

 

6.8.1 功的互等定理

 

图6-16(a)、(b)表示一线XX分别受外力FP1和FP2作用时的两种状态,分别称为第一状态和第二状态。

图6-16

 

如果计算第一状态的外力和内力在第二状态对应的位移和变形上所作的虚功W12和Wi12,根据虚功原理W 12=Wi12,则有:

 

若计算第二状态的外力和内力在第一状态对应的位移和变形上所作的虚功W 21和Wi21,根据虚功原理W 21=Wi21,则有:

 

比较(a)、(b)两式等号右边,有:

 

式(6-18)即为线X结构功的互等定理。功的互等定理表明:第一状态(图6-16(a))的外力在第二状态(图6-16(b))的位移上所作的虚功等于第二状态的外力在第一状态的位移上所作的虚功。

 

 

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6.8.2 位移互等定理

 

如果作用在结构上的荷载是一个单位荷载,即F P 1=F P 2=1(图6-17),用δi j表示单位荷载引起的位移,由式(6-18)可得:

图6-17

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式(6-19)为线X结构的位移互等定理。位移互等定理表明:第二状态(图6-17(b))的单位荷载引起的第一状态(图6-17(a))单位荷载作用点沿其作用方向的位移等于第一状态的单位荷载引起的第二状态单位荷载作用点沿其作用方向的位移。位移互等定理是功的互等定理在FP1=FP2=1时的一种特殊形式。

 

 

6.8.3 反力互等定理

 

图6-18(a)所示超静定结构中,由于支座2发生单位位移Δ2=1,各支座处将产生相应的反力,将支座1处的反力记作r12。同理,由于支座1发生单位位移Δ1=1(图6-18 (b)),各支座也将产生相应的反力,将支座2处的反力记作r21。根据功的互等定理,有:

图6-18

 

r12Δ2=r21Δ1

即:

 

式(6-20)为线X结构的反力互等定理。反力互等定理表明:第二个支座沿其方向发生单位位移时在第一个支座中产生的反力,等于第一个支座沿其方向发生单位位移时在第二个支座中产生的反力。

 

 

复习参X

 

一、思X

1.引起结构位移的原因有哪些?

2.虚功原理的适用条件有哪些?

3.图乘法的应用条件是什么?变截面杆件能否使用图乘法?

4.温度变化引起的位移计算公式中,如何确定各项的正负号?

5.互等定理的适用条件是什么?

二、计算题

1.试计算题图6-1所示结构A点的水平位移Δ A x, EI=常数。

题图6-1

 

2.试计算题图6-2所示结构C点的竖向位移ΔCy,已知E=常数,。

题图6-2

 

3.试计算题图6-3所示结构E点的竖向位移ΔEy,已知E=常数,F P=100 k N。

题图6-3

 

4.试计算题图6-4所示结构A点的竖向位移ΔAy,已知E=常数。

题图6-4

 

5.试计算题图6-5所示桁架中C点的竖向位移Δ C y,各杆EA相同。

题图6-5

 

6.试计算题图6-6所示桁架B点的水平位移Δ B x,各杆EA=3.2×105 kN。

题图6-6

 

7.试计算题图6-7所示刚架D点的水平位移Δ D x, EI=常数。

题图6-7

 

8.题图6-8所示刚架,各杆外侧温度无变化,内部温度升高15℃,线X系数为α,各杆截面相同且与形心轴对称,截面高为h,试计算C截面的水平位移ΔCx。

题图6-8

 

9.试计算题图6-9所示刚架横梁D点的竖向位移ΔDy。

题图6-9

 

10.试计算题图6-10所示结构D点的竖向位移Δ D y,杆A D的截面抗弯刚度为EI,杆BC的截面抗拉刚度为EA。

题图6-10

 

11.试计算题图6-11所示桁架AB杆的转角φ A B,设各杆EA=常数。

题图6-11

 

12.试计算题图6-12所示结构D点的竖向位移Δ D y,杆AC、BC的截面抗弯刚度为EI,杆AD、BD、CD的抗拉(压)刚度为EA。

题图6-12

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13.试计算题图6-13所示桁架C点的竖向位移Δ C y,各杆EA=常数。

题图6-13

14.试计算题图6-14所示桁架A点的水平位移Δ A x,各杆EA=常数。

题图6-14

15.题图6-15所示桁架杆件截面为矩形,截面高度为h, h/l=1/20,材料线X系数为α,杆件两侧温度变化如图所示。试计算C点的竖向位移ΔCy。

题图6-15

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计算题参考答案

题图6-1 (方向向下)

题图6-2 (方向向下)

题图6-3 (方向向下)

题图6-4 (方向向下)

题图6-5 (方向向下)

题图6-6 (方向向右)

题图6-7 (方向向左)

题图6-8 (方向向右)

题图6-9 (方向向下)

题图6-10 (方向向下)

题图6-11 (顺时针方向)

题图6-12 (方向向下)

题图6-13 (方向向下)

题图6-14 (方向向右)

题图6-15 Δ C y=-118 α tl(方向向上)

第7章 力法

【本章内容概要】

本章主要介绍用力法解超静定结构并绘制内力图。要求熟练掌握力法基本未知量、基本结构、典型方程的确定方法。掌握利用对称性计算多次超静定结构。

【本章学习重点与难点】

学习重点:基本未知量的确定及典型方程的建立。

学习难点:对称性的利用。

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7.1 力法的基本概念

第3章到第6章,讨论了静定结构的力学特性及内力与位移的计算方法。而实际工程中应用更多的是超静定结构,即用静力平衡条件不能全部求出其反力或内力的结构。如图7-1(a)所示的单跨梁,有4个支座反力如图7-1(b)所示。在图示荷载作用下,由水平方向力的平衡条件∑Fx=0,可以求出A支座的水X力FAx=0。而其余三个支座反力由∑Fy=0、∑M=0两个平衡条件是求不出唯一解的,还缺少一个条件方程。

图7-1

分析一下图7-1(a)所示单跨梁的几何组成性质,可以看到这是有一个多余约束的几何不变X,是超静定结构,也称其为单跨超静定梁。如果将右端支座去掉,用力代替如图7-1(c)所示,即成为静定结构。由此可见,由于有了多余约束,超静定结构的内力或反力不能用静力平衡条件全部求出。从静力分析的观点而言,求解过程中缺少的方程个数称为结构的超静定次数。通过以上分析可知,超静定结构的超静定次数与其多余约束的个数是相等的。因此,可以采用去掉多余约束使超静定结构转变为静定结构的方法,来确定超静定结构的超静定次数。

如图7-1(a)所示单跨超静定梁,去掉了右端可动铰支座用力代替后,成为了静定结构如图7-1(c)所示。可见,去掉一个可动铰支座相当于减少一个约束,该单跨超静定梁为一次超静定结构。

分析图7-2(a)所示的桁架,杆件部分多一根链杆,将其切断用轴力代替后,成为静定桁架如图7-2(b)所示。可见,切断一根链杆相当于减少一个约束,该桁架为一次超静定桁架。

图7-2

分析图7-3(a)所示的结构,有2个多余约束,将固定铰支座去掉用力代替后,成为静定结构如图7-3(b)所示。可见,去掉一个固定铰支座相当于减少两个约束,该结构为二次超静定结构。

图7-3

分析图7-4(a)所示的结构,有2个多余约束,将A处的单铰去掉用力代替后,成为静定结构如图7-4(b)所示。可见,去掉一个单铰相当于减少两个约束,该结构为二次超静定结构。

图7-4

分析图7-5(a)所示的结构,有3个多余约束,将A处固定端去掉用力代替后,成为静定结构如图7-5(b)所示。可见,去掉一个固定端相当于减少三个约束,该结构为三次超静定结构。

图7-5

分析图7-6(a)所示的结构,有3个多余约束,将横梁截面切断用力代替后,成为静定结构如图7-6(b)所示。可见,切断一根受弯杆件相当于减少三个约束,该结构为三次超静定结构。

图7-6

在去掉多余约束的同时,应该在结构上用相应的力代替多余约束,这种代替多余约束作用的约束力称为多余力。多余力可以是支座反力,如图7-1(c)、7-3(b)、7-5(b)所示;也可以是杆件的截面内力,如图7-2(b)、7-4(b)、7-6(b)所示。

超静定结构去掉多余约束后成为静定结构,这个静定结构称为原结构(原超静定结构)的力法基本结构。应该注意的是,同一个超静定结构,可采用不同的方式去掉多余约束,得到不同的基本结构。图7-7(a)所示结构有两个多余约束,是一个二次超静定结构。分别去掉B、C处的可动铰支座,得到力法的基本结构如图7-7(b)所示;去掉B处的可动铰支座和固定端A的转动约束,得到力法的基本结构如图7-7(c)所示;去掉C处的可动铰支座和固定端A的转动约束,得到力法的基本结构如图7-7(d)所示;去掉B处的可动铰支座和B截面的转动约束,得到力法的基本结构如图7-7(e)所示;去掉固定端A的转动约束和B截面的转动约束,得到力法的基本结构如图7-7(f)所示。由此可见,无论采用哪种方式去掉多余约束,多余约束的个数是相同的。即结构的超静定次数是结构自身的特性,与外因无关。

图7-7

用力法计算超静定结构时,原结构的基本结构不是唯一的。由于去掉多余约束的方式不同,基本结构可以有不同的形式。但要注意的是,基本结构必须是几何不变的。如把图7-7(a)所示结构中固定端A的水平方向约束和转动约束去掉,得到图7-8所示的X。虽然去掉的多余约束也是两个,但显然这是一个可变X,不能作为力法的基本结构。为了保证力法基本结构的几何不变性,某些约束是不能去掉的。

图7-8

 

 

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