王大虎

王大虎:力法的基本原理

王大虎

超静定结构去掉多余约束用多余力代替后的基本结构是一个静定结构,静定结构的计算是已经解决的问题。问题的关键是多余力是未知的!只有求解出多余力,计算才能进行。多余约束上的多余力称为力法的基本未知量。

图7-9(a)所示连续梁为一次超静定结构,去掉一个多余约束即B处可动铰支座,得到基本结构如图7-9(b)所示,基本结构在多余力与荷载共同作用下称为基本X如图7-9(c)所示。而利用基本结构的静力平衡条件是求不出基本未知量X1的,解决问题的途径是寻找一个包含X1的方程。如果X1的值是原结构B支座反力的真实解,则原结构与基本结构的受力与变形应该完全相同。在原结构中,由于支座的约束作用,B处的竖向位移为0。因此,基本结构在均布荷载与多余力X1的共同作用下,必须满足这个位移条件,即:

图7-9

 

式中:Δ11为X1作用下,基本结构B点沿X1方向的位移;Δ1P为均布荷载作用下,基本结构B点沿X1方向的位移,如图7-9(d)所示。

由方程(7-1)还是解不出X1,现在对方程进行变换。可知,当X1=1时,可以求出基本结构B点沿X1方向的位移δ11,如图7-9(e)所示。根据叠加原理,Δ11=δ11X1,将其代入方程(7-1),可得:

 

方程(7-2)称为力法方程。式中δ11称为系数项,Δ1P称为X项。δ11、Δ1P均为静定结构在荷载作用下的位移,可根据已学过的静定结构位移计算方法计算。因而,可以由方程(7-2)求出力法的基本未知量X1,进一步计算原结构的全部反力、内力和变形等。注意,当力法基本结构找到后,后续所有计算过程都是在基本结构上进行的。

为计算δ11、Δ1P,需要绘出基本结构在X1=1作用下的弯矩图图(图7-10(a))、荷载作用下的弯矩图MP图(图7-10(b))。

图7-10

 

由力法方程可求得。如需绘制原结构的弯矩图,有两种方法:求解出的X1值即为原结构B支座的竖向反力,可直接用原结构计算弯矩并绘弯矩图;用叠加法绘弯矩图,即原结构任意截面的弯矩为。此连续梁的弯矩图如图7-10(c)所示。

由以上分析过程可以总结出用力法计算超静定结构的步骤如下。

(1)确定结构的超静定次数及基本未知量。结构的超静定次数等于多余约束的个数,基本未知量为多余约束上的约束力。

(2)确定力法的基本结构。将超静定结构的多余约束去掉用多余力代替后的静定结构即为力法的基本结构。

(3)根据多余约束处的变形协调条件建立力法方程。

(4)绘制多余力等于1及荷载作用下的弯矩图,计算系数项及X项。

(5)解力法方程,求解多余力,求反力及内力等。

 

 

7.3 力法解一次超静定结构

 

在静定结构位移计算中,通过分析得出一般受弯直杆的轴力和剪力对变形的影响可以忽略不计。因此,在计算超静定结构时,通常忽略受弯直杆的轴向变形和剪切变形的影响。

例7-1 试用力法计算图7-11(a)所示刚架,并绘制弯矩图。EI 2=2 EI 1。

图7-11

 

[解] 图示刚架为一次超静定结构。去掉C支座的水平约束用基本未知量X1代替,得到力法基本X如图7-11(b)所示。原结构C处沿X1方向的线位移为零,根据这个位移条件,基本结构在荷载FP和未知量X1共同作用下,C处沿X1方向的线位移和为零。于是,可建立力法方程:

δ11X1+Δ1P=0

分别绘出基本结构在X1=1时的弯矩图及荷载作用下的弯矩图,如图7-11(c)、(d)所示。用图乘法计算求得:

 

代入力法方程解得。原结构的弯矩图如图7-11(e)所示。

若图7-11(a)所示结构中的杆件刚度EI为常数,可得:

 

由此,可以得出结论:超静定结构在荷载作用下的反力、内力只与杆件的相对刚度有关,与其绝对刚度无关;如果结构是由同一材料构成的,则与材料的性质(X模量)无关。

例7-2 试用力法计算图7-12(a)所示超静定桁架,杆件EA为常数。

图7-12

 

[解] 图示桁架杆件部分多一根链杆约束,是一次超静定结构。

●方法一

切断杆件23,将其轴力作为基本未知量X1,得到基本X如图7-12(b)所示。原结构切口处两侧截面的相对位移为零,由此可建立力法方程为:

δ11X1+Δ1P=0

分别计算桁架在X1=1时的各杆件轴力及荷载作用下的各杆件轴力,如图7-12(c)、(d)所示。注意,X1=1的物理意义是23杆件的轴力为1, δ11中有23杆件的贡献。荷载作用下23杆件的轴力为0, Δ1P中没有23杆件的贡献。

 

解得X1=-2.5kN,即23杆件的轴力为-2.5kN。其余杆件的轴力可用叠加法求得,计算公式如下:

 

各杆件轴力如图7-12(e)所示。

●方法二

去掉23杆件,将其对余下部分的作用力作为基本未知量X1,得到基本X如图7-12 (f)所示。注意,原结构2、3两点的相对水平位移不为零,应该等于23杆件的杆长的变化量。X1的数值与23杆件的轴力相同,对应图示所设X1的正方向,23杆件的轴力为拉力。原结构23杆件受拉,杆长变长,即2、3两点相对位置是离开的;基本X在X1作用下,2、3两点相对位置是靠近的。由此可建立力法方程为:

 

当去掉23杆件后,基本X中没有了23杆件,所以δ11、Δ1P中没有23杆件的贡献。计算过程读者可自行完成。

 

 

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7.4 力法解二次超静定结构

 

例7-3 试用力法计算图7-13(a)所示连续梁,并绘制弯矩图。杆件EI为常数。

图7-13

 

[解] 图示连续梁为二次超静定结构。去掉B截面的转动约束用多余力X1代替,去掉固定端A处的转动约束用多余力X2代替,得到基本X如图7-13(b)所示。原结构B截面两侧的相对转角为零,固定端A处的转角也为零。根据位移协调条件,基本结构在X1、X2、荷载作用下,在B截面两侧产生的相对转角的和应该为零,在固定端A处产生的转角和也应该为零。由此,可建立力法方程如下:

δ11X1+δ12X2+Δ1P=0

δ21X1+δ22X2+Δ2P=0

绘制基本结构在X1=1、X2=1、荷载作用下的弯矩图如图7-13(c)、(d)、(e)所示。用图乘法计算求得:

 

代入力法方程有:

 

解得:,。原结构的弯矩图如图7-13(f)所示。

例7-4 试用力法计算图7-14(a)所示刚架,并绘制弯矩图。杆件EI为常数。

图7-14

 

[解] 图示刚架为二次超静定结构。此刚架的特点是BC部分为静定部分,如何处理静定部分有两种方法。

●方法一

在计算超静定部分时,先去掉静定部分。即切断BC杆件,将BC杆件B截面的内力作为荷载作用在超静定部分,如图7-14(b)所示。然后计算超静定部分ABD。去掉D处的固定铰支座,将支座反力作为基本未知量,力法的基本X如图7-14(c)所示。

原结构在D处的水平位移和竖向位移皆为零,由此建立力法方程为:

δ11X1+δ12X2+Δ1P=0

δ21X1+δ22X2+Δ2P=0

绘制基本结构在X1=1、X2=1、荷载作用下的弯矩图如图7-14(d)、(e)、(f)所示。用图乘法计算求得:

 

代入力法方程有:

 

解得:, 。注意:实际D支座的竖向反力为13FP/7。原结构的弯矩图如图7-14(g)所示。

●方法二

不去掉静定部分。去掉D处的固定铰支座,将支座反力作为基本未知量,力法的基本X如图7-15(a)所示,力法方向同上。绘制基本结构在X1=1、X2=1、荷载作用下的弯矩图如图7-15(b)、(c)、(d)所示。

图7-15

 

由图7-15可见,后面的计算过程和结果与方法一完全相同,故略去。

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7.5 力法解n次超静定结构

 

当超静定结构的超静定次数为n次时,结构即有n个多余约束,每一个多余约束都对应一个约束力即基本未知量。设n个未知约束力为:X1, X2, …, Xn。同时原结构每一个多余约束处都有一个位移条件,相应地可以建立n个变形协调方程,从而求解n个未知约束力。这n个方程可写为:

 

当原结构在多余约束处的位移为零时,式(7-3a)变为:

 

式(7-3)即为荷载作用下n次超静定结构力法方程的一般形式。结构的形式多种多样,基本结构的选取也不是唯一的,但力法方程的形式是不变的。因而,称式(7-3)为力法典型方程。力法典型方程的实质是变形协调。

方程(7-3)中,系数项δij和X项ΔiP代表基本结构的位移。位移符号中两个下标的含义是:第一个下标表示位移的位置与方向,第二个下标表示产生位移的原因。即:

δij——由单位力Xj=1产生的在Xi作用位置沿Xi方向的位移。因是单位力产生的位移,也称为柔度系数;

ΔiP——由荷载产生的在Xi作用位置沿Xi方向的位移。

位移δij和ΔiP与所设基本未知量的方向一致时为正,反之为负。当i=j时,δi称为主系数,是Xi=1产生的在Xi作用位置沿Xi方向的位移,该位移一定与Xi=1的方向一致,故主系数δi恒为正。如i≠j, δij称为副系数,该位移方向可正可负,位移也可为零。根据位移互等定理,有:

 

方程(7-3)中的柔度系数可写成矩阵形式如下:

 

这个矩阵称为柔度矩阵。主对角线上的系数均为主系数,主对角线两侧的副系数关于主对角线对称。可见,柔度矩阵是对称矩阵。

力法典型方程是一组线性代数方程,求解方程组可以得出全部基本未知量即未知约束力。其后,超静定结构的内力可根据平衡条件直接求得,也可以由叠加原理计算,如下式:

 

式中:、、是基本结构在Xi=1单独作用时产生的内力,M P、FQP、FNP是基本结构在荷载作用下产生的内力。

 

 

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7.6 对称结构的计算

 

实际工程中,很多结构都具有对称性。利用对称性可以简化结构的计算。对于平面结构而言,对称结构的含义是:

(1)结构的几何形式和支撑情况对称于某一几何轴线;

(2)杆件截面和材料性质也对称于同一几何轴线。

结构如果对称,将该结构沿某几何对称轴对折后,对称轴两侧结构部分应完全重合。需要注意的是:结构的对称性与外因无关,是结构本身的特性。

图7-16(a)所示结构符合对称结构的条件,是对称结构。图7-16(b)所示结构,杆件截面不对称,即抗弯刚度不对称,是非对称结构。图7-16(c)所示结构,支座即支撑情况不对称,是非对称结构。

图7-16

 

作用在对称结构上的荷载可以有正对称荷载和反对称荷载。正对称荷载是指对称结构沿对称轴对折后,对称轴两侧的荷载作用点、大小、方向完全重合,如图7-17(a)所示;反对称荷载是指对称结构沿对称轴对折后,对称轴两侧的荷载作用点、大小重合,但方向相反,如图7-17(b)所示。

图7-17

 

对称结构的变形特点是:在正对称荷载的作用下,结构的变形是正对称的,如图7-18 (a)所示;在反对称荷载的作用下,结构的变形是反对称的,如图7-18(b)所示。

图7-18

 

 

7.6.1 对称结构的分析

 

图7-19(a)所示结构为一对称刚架,各杆件EI为常数。这是一个三次超静定结构,去掉三个多余约束的方法有几个,为了利用对称性,将对称轴穿过的杆件截面截断,得到对称的基本X如图7-19(b)所示。显然,X1是关于对称轴正对称的,X2是关于对称轴反对称的,X3是关于对称轴正对称的。

图7-19

 

原结构的截面是连续的,即截面两侧相对水平位移、相对竖向位移、相对转角皆为零。由此建立力法典型方程为:

 

为计算系数项,分别作未知量等于1时的弯矩图,如图7-19(c)、(d)、(e)所示。

由图可知图、图是正对称的,图是反对称的。即对称结构在正对称荷载作用下弯矩图是正对称的,在反对称荷载作用下弯矩图是反对称的。读者可自行验证,对称结构在正(反)对称荷载作用下轴力图是正(反)对称的,剪力图是反(正)对称的。用图乘法计算可得:δ12=δ21=0, δ23=δ32=0。方程(7-7a)变为:

 

可见方程组(7-7b)中前两个方程只含有正对称的未知力,第三个方程只含有反对称的未知力。将一个三元一次线性方程组转化为一个二元一次线性方程组加一个一元一次线性方程,显然,利用对称性后,简化了计算。

如果荷载具有对称性,计算将进一步简化。图7-19(a)所示对称结构上作用的荷载为一般荷载,可以将其分为两组:一组为正对称荷载,如图7-20(a)所示;一组为反对称荷载,如图7-20(b)所示。分别计算后再进行叠加。

图7-20

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