王大虎

王大虎:位移法的基本概念

王大虎

力法是直接建立在静定结构受力分析基础之上的,不仅为超静定结构受力分析提供了普遍适用的方法,而且为发展超静定结构的其他分析方法奠定了基础。力法在19世纪末就开始应用于各种超静定结构分析中,随着钢筋混凝土结构的问世,出现了大量高次超静定结构,如果用力法计算其工作量很大,这样就促使超静定结构分析的另一种基本方法——位移法形成。位移法是20世纪初在力法基础上建立起来的。

结构在一定外因作用下,其内力和位移之间恒具有一定的关系,确定的内力只与确定的位移相对应。力法是以多余未知力为基本未知量,一般取静定结构作为基本结构,利用变形协调方程建立力法的基本方程,求出多余未知力,然X一步求出结构内力和位移。而位移法是以结构的结点位移为基本未知量,以若干个单跨超静定结构作为基本结构,利用结构局部部分的平衡条件建立位移法的基本方程,求出结构的结点位移,然后再进一步求出结构的内力。

为了说明位移法的基本概念,对图8-1(a)所示的刚架进行分析。在荷载作用下,若忽略杆件的轴向变形,则B结点不存在线位移而只有角位移,因B处是刚结点,当它发生转角Z时由于变形协调,与之相连的各杆件杆端截面的转角均等于Z,刚架产生的变形如虚线所示。因此,如果能够知道B结点的转角Z,则所有杆件的内力便可迎刃而解。如AB杆和BD杆可分别看作两端固定和一端固定另一端为定向支座的梁受支座转角Z的作用,其内力可以用力法求得。同样,BC杆可看作一端固定另一端铰支的梁受B端转角Z和跨内集中荷载作用,其内力也可用力法求得。所以,问题的关键是如何求得B结点的转角Z。

图8-1

 

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取如图8-1(b)所示的隔离体,作用在结点B上的杆端弯矩必须满足力矩平衡条件,即有

 

式(8-1)中各杆的杆端弯矩都是Z的函数,求解该方程便可以确定Z值,进而求得原结构的全部内力。由此可见,用位移法分析图8-1(a)所示刚架时只有B结点的转角Z一个基本未知量。以X移法的分析同样适用于结构有多个结点角位移及线位移的情况。但需要说明的是,在位移法中并非需要将所有的结点位移均作为基本未知量,例如图8-1(a)所示刚架中C结点的转角和D结点的水平位移就不必作为基本未知量,因为只要求得B结点的转角Z,即可按照有关转角位移公式求得它们的杆端力。因此,位移法将计算杆端力所必需的Z称为关键位移,并作为位移法的基本未知量。

由以上分析可知,用位移法求解结构内力必须解决以下3个问题:

(1)用力法计算出单跨超静定梁在杆端发生各种位移以及荷载等因素作用下的内力;

(2)确定结构上哪些位移作为基本未知量;

(3)如何求出这些位移。

下面依次讨论这些问题。

 

 

8.2 等截面直杆的转角位移方程

 

现在解决上一节提出的第一个问题,用力法计算出单跨超静定梁在杆端发生各种位移以及荷载等因素作用下的内力。

图8-2所示为荷载及温度变化作用下两端固定的等截面单跨梁,A、B两端分别发生顺时针转角位移为θA和θB,并且AB两端在垂直于杆轴方向上发生相对线位移(亦简称侧移)ΔAB。

图8-2

 

在位移法中,为了计算方便,杆端转角θA和θB以顺时针方向转动为正,杆端侧移ΔAB以使整个杆件顺时针方向转动为正。杆端弯矩MAB和MBA以对杆端顺时针方向转动为正(对结点和支座逆时针方向转动为正)。杆端剪力仍以绕隔离体顺时针方向转动为正。

按照上述对于相关量值的正负号规定,用力法对图8-2所示梁进行求解。确定简支梁为力法基本结构,以杆端弯矩为基本未知量,可求得杆端弯矩的一般公式为:

 

式中为杆件的线刚度,和为固端弯矩,即由荷载及温度变化作用下引起的杆端弯矩。式(8-2)称为两端固定等截面直杆的转角位移方程。由式(8-2)求得杆端弯矩后,就可以根据静力平衡条件推导得出杆端剪力的表达式。

由式(8-2)可见,杆端力是由各杆端位移及荷载等因素单独作用所产生效应的线性叠加。同理可建立一端固定一端铰支、一端固定一端定向支座的单跨梁的转角位移方程。为了便于应用,表8-1和表8-2列出了三类基本等截面单跨超静定梁在各单位杆端位移以及常见荷载单独作用下的杆端弯矩和剪力值,以备查用。

表8-1 等截面直杆的杆端力(形常数)

 

续表

 

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表8-2 等截面直杆的杆端力(载常数)

 

续表

 

当杆端内力仅由一个单位杆端位移(即位移等于1)引起时,所得的杆端内力称为等截面直杆的形常数,它只与杆件的材料性质、截面尺寸及几何形状有关。常用的形常数见表8-1。

当杆端内力仅由荷载作用引起时,所得的杆端力称为载常数,它只与杆件所受的荷载情况有关。常用的载常数见表8-2。

 

 

8.3 位移法的基本未知量和基本结构

 

由上节可知,如果结构上每根杆件两端的角位移和线位移都已经求得,则全部杆件的内力均可由转角位移方程确定。因此,在位移法中,基本未知量应是各结点的角位移和线位移。在计算时,应首先确定独立的结点角位移和线位移的数目。

1.独立的结点角位移

由于在同一刚结点处,各杆端的转角都相同,因此每个刚结点只有一个独立的结点角位移未知量。对于固定支座,它的角位移等于零或者对应已知的支座位移值。对于铰结点或铰支座处各杆端的角位移,由于铰结点处的弯矩等于零,角位移不是独立的,即确定杆件内力时可以不需要它们的数值,故可不作为基本未知量。同理定向支座处的剪力为零,其线位移也不需要作为基本未知量。这样,确定结构独立的结点角位移数目时,只要数刚结点的数目即可。例如图8-3(a)所示的刚架,其独立的结点角位移数目为2。

图8-3

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2.独立的结点线位移

在一般情况下,每个结点均有可能有水平线位移和竖向线位移。对于受弯杆件通常略去其轴向变形,假设弯曲变形是非常微小的,这样就可以认为受弯直杆两端之间的距离在变形后仍保持不变。那么每个受弯直杆就相当于一个约束,从而减少了独立的结点线位移的数目。例如在图8-3(a)所示刚架中A、C、E为固定端,AB、CD、EF杆的长度又保持不变,因而结点B、D、F均无竖向线位移。又由于2根横梁的长度亦保持不变,故3个结点具有相同的水平线位移。因此,刚架只有一个独立的结点线位移。

独立的结点线位移数目还可以用下述方法来确定。由于每个结点可能有2个线位移,而每一个受弯直杆提供一个两端距离不变的约束条件,因此,可把原结构中所有的刚结点和固定支座都改为铰结,从而得到一个相应的铰结链杆X,然后对该铰结X进行几何组成分析。若该铰结X为几何不变,则可推知原结构所有的结点均无线位移。若相应的铰结X是几何可变或瞬变的,那么,看最少需要添加几根支座链杆才能保证其几何不变,所需要添加的最少支座链杆数目就是原结构独立的结点线位移数目。例如图8-3(a)所示的刚架,其相应的铰结X如图8-3(b)所示,经几何组成分析可知,该铰结X为几何可变X,需要添加1根非竖向支座链杆才能使其成为几何不变X,故可添加1根水平支座链杆,使其成为几何不变X。因此,原结构独立的结点线位移数目为1。

显然,在上述位移法基本未知量的确定中,已考虑了支座和结点以及杆件的联结情况,因而,自动满足了结构的几何条件即支撑约束条件和变形连续条件。

用位移法计算超静定结构时,每一根杆件都可看作一根单跨超静定梁,因此位移法的基本结构就是表8-1和表8-2所示的三类基本的单跨超静定梁以及可能存在的静定部分所组成的X。为此,可以在每个刚结点上假想地加上一个附加刚臂,以阻止刚结点的转动,同时加上附加支座链杆以阻止结点的线位移。例如图8-3(a)所示刚架,在两刚结点B、F处分别加上刚臂,并在结点B处加上一根水平支座链杆,则原结构中除FG杆以外的所有杆件都成为两端固定或一端固定一端铰支的梁。由于FG杆是静定部分,其内力可直接由静力平衡条件求得。这样,原结构的基本结构如图8-3(c)所示,它是单跨超静定梁以及静定梁的组合体。

又如图8-4(a)所示刚架,其结点角位移数目为4而不是3,因为组合结点D也存在刚结点,即杆件CD和ED在该处刚结。结点线位移数目为2,一共有6个基本未知量。分别在刚结点B、D、E、F处添加4个刚臂,在横梁BD、EF上添加2个水平支座链杆后,可得到基本结构如图8-4(b)所示。

图8-4

 

在分析图8-5(a)所示刚架位移法基本未知量时,应注意横梁BE、CF的弯曲刚度EI=∞,说明横梁只能作水平的刚体移动,因此结点B、C、E、F均不可能发生角位移,只有横梁BE和CF发生水平线位移。因此结点角位移数目为0,线位移数目为2,在两个横梁处添加2个水平支座链杆后得到基本结构如图8-5(b)所示。

图8-5

 

上面介绍的确定独立的结点线位移的方法,是以受弯直杆变形后两端距离不变的假设为依据的。对于考虑轴向变形的链杆或对于受弯曲杆,则其两端距离不能看作不变。如图8-6(a)所示结构,其独立的结点线位移数目是2而不是1,其基本结构如图8-6(b)所示。

图8-6

 

 

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8.4 位移法的基本原理

 

如8.1节所述,位移法是以关键位移(独立的结点角位移和线位移)作为基本未知量,根据相应的结点力矩或截面平衡条件列出位移法方程并解出关键位移,然后再确定各杆件内力。下面举例来说明位移法的基本原理和求解思路。

图8-7(a)所示连续梁(EI为常数)只有一个独立的结点角位移Z1,无结点线位移。在结点B处添加一个附加刚臂,便得到其基本结构。由于附加刚臂约束了结点B的角位移,故荷载作用在基本结构上时,其位移和内力将与原结构不相同。显然若令附加刚臂发生与原结构相同的角位移Z1,如图8-7(b)所示,则二者的位移就完全一致了。基本结构在荷载和基本未知量(即独立结点位移)共同作用下的X称为基本X。

图8-7

 

从受力方面看,基本X中由于添加了附加刚臂,刚臂上便会产生附加反力矩(简称反力矩)。但原结构中该处并没有附加刚臂,当然也就不存在反力矩。而若让基本X的位移与原结构完全一致,其受力也应完全相同。因此,基本结构在结点位移Z1和荷载共同作用下,刚臂上的反力矩R1必定为零(图8-7(b))。设由Z1所引起的刚臂上的反力矩为R11,由荷载所引起的刚臂上的反力矩为R1P。根据叠加原理,上述可表达为:

R1=R11+R1P=0

式中Rij表示广义附加反力矩(或反力),第一个下标表示该反力所属的附加联系,第二个下标表示引起该反力的原因。设r11表示由单位位移Z1=1单独作用下所引起的附加刚臂上的反力矩。则上式可写为:

 

这就是求解基本未知量Z1的位移法基本方程。

要确定Z1,应先求出r11和R1P。因基本X中各杆均可视为单跨超静定梁,故可利用表8-1和表8-2查得杆端弯矩。分别绘出基本结构在Z1=1单独作用下的弯矩图(称为图)和荷载单独作用下的弯矩图(称为MP图),如图8-8所示。

图8-8

 

由图,取结点B为隔离体,用力矩平衡条件∑MB=0,可得:

r11=3i+3i=6i

式中。同理,由MP图,可得:

 

将r11和R1P代入位移法基本方程(8-3),可求得:

 

结果为正,表示Z1的方向与所设方向相同。结构的最后弯矩图可由叠加法M=M1Z1+MP绘制。例如AB杆B端的弯矩为 (正号表明该弯矩方向为绕杆端顺时针转动,即上侧受拉)。M图如8-9所示。

图8-9

 

 

8.5 位移法的典型方程

 

8.4节以一个独立结点角位移为基本未知量阐述了位移法的基本原理和求解思路。为了加深对位移法的理解,下面再以一个既有结点角位移又有结点线位移的刚架为例,进一步说明位移法的基本原理和典型方程。

如图8-10(a)所示刚架,各杆EI相同且为常数。分析可知,此刚架在结点B有一个结点角位移基本未知量,在横梁BC处有一个结点线位移基本未知量。因此在结点B添加上一个附加刚臂限制结点B的转动,在结点C(或B)处添加一个附加支座链杆限制横梁的水平位移,得到基本X如图8-10(b)所示。

图8-10

 

为了让基本X与原结构内力和变形完全一致,使基本X上结点B处的刚臂发生转角Z1,结点C处的附加支座链杆发生水平位移Z2,这样基本X各杆件的位移就与原结构完全相同了。若让基本X各杆件的内力与原结构也完全一样,则基本X附加刚臂上的附加反力矩R1和附加支座链杆上的附加反力R2都应该等于零。设基本结构在Z1、Z2和荷载单独作用下所引起的附加刚臂上的附加反力矩分别为R11、R12和R1P,所引起的附加支座链杆上的附加反力分别为R21、R22和R2P,如图8-10(c)、(d)、(e)所示。则根据叠加原理,可得:

R1=R11+R12+R1P=0

R2=R21+R22+R2P=0

设r11、r12分别为基本结构在单位结点位移Z1=1和Z2=1单独作用下所引起的附加刚臂上的附加反力矩,r21、r22分别为基本结构在单位结点位移Z1=1和Z2=1单独作用下所引起的附加支座链杆上的附加反力,则上式可写为:

 

该方程为具有2个基本未知量的位移法典型方程。它的物理意义是:基本结构在荷载等外因和各结点位移的共同作用下,每一个附加约束上的附加反力矩或附加反力都应等于零。因此,它实质上是反映了原结构的静力平衡条件。

对于具有n个独立结点位移的结构,相应地在基本结构中需加入n个附加约束,根据每个附加约束的附加反力矩或附加反力都应等于零的平衡条件,同样可以建立n个方程如下:

 

式(8-5)即为位移法方程的一般形式,不论结构是什么形式,位移法方程的形式是不变的,故常称为位移法典型方程。由以上分析可知,位移法方程的实质是一组平衡方程。

rij称为未知位移的系数项,它表示基本结构在单位结点位移Zj=1单独作用下,在第i个附加约束上产生的反力。RiP称为X项,它表示基本结构在荷载单独作用下,在第i个附加约束上产生的反力。rij和RiP均取与所设关键位移Zi的方向一致为正,反之为负。当i=j时,ri称为主系数,恒为正,且不会等于零;当i≠j时,rij称为副系数。副系数和X项可能为正、负或零。由反力定理可知,主斜线两边处于对称位置的两个副系数rij和rji的数值是相等的,即rij=rji。

系数项rij可由杆件的形常数求得,X项可由杆件的载常数求得。由于在位移法典型方程中,每个系数都是单位位移所引起的附加约束的反力(或反力矩),显然,结构的刚度越大,这些反力(或反力矩)的数值也越大,故这些系数又称为结构的刚度系数,位移法典型方程又称为结构的刚度方程,位移法又称为刚度法。

在求解位移法典型方程时,计算结果为正,说明实际结点位移的方向与所设方向一致;计算结果为负,说明实际结点位移的方向与所设方向相反。

结点位移求出后,可利用叠加原理求出各杆杆端弯矩:

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8.6 位移法的计算步骤和示例

为了进一步说明位移法的具体计算步骤,现以图8-10(a)所示刚架为例进行计算。此刚架按位移法分析有2个基本未知量,即1个结点角位移和1个结点线位移,基本X如图8-11(a)所示。方程中的系数和X项可借助表8-1和表8-2查得。分别绘出基本结构在Z1=1、Z2=1以及荷载单独作用下的弯矩图图、图和MP图,如图8-11(b)、(c)、(d)所示。

图8-11

 

各系数项和X项均为常数项,可根据结点或截面的平衡条件求得。其中刚臂上的附加反力矩r11、r12和R1P可分别在图8-11(b)、(c)、(d)中取B结点为隔离体,由力矩的平

衡方程∑MB=0求得:

 

对于附加链杆上的反力,可以分别在图8-11(b)、(c)、(d)中取横梁BC为隔离体,由表8-1和表8-2查得竖柱的剪力,由水平方向力的投影方程∑Fx=0求得:

 

将各项系数项和X项代入典型方程(8-4)中,可得:

 

解以上两式组成的方程组可得:

 

所得位移均为正值,说明Z1、Z2与所设方向相同。

然后根据叠加原理 -可求得各杆杆端弯矩,绘制结构弯矩图。例如杆端弯矩MAB可计算如下:

 

其他各杆杆端弯矩可同样算得,M图如图8-12所示。求出M图后,可由平衡条件绘出剪力FQ图和轴力FN图。

图8-12

 

如对内力图进行校核,包括平衡条件的校核和位移条件的校核,校核方法与力法中所述一样,不再重复。

通过以上算例,可将位移法的计算步骤归纳如下:

(1)确定原结构的基本未知量;

(2)在原结构中加上附件约束得到基本结构;

(3)列出位移法典型方程;

(4)绘出基本结构在各单位结点位移作用下的弯矩图和荷载等因素作用下的弯矩图,由平衡条件求出各系数项和X项;

(5)将系数项和X项代入典型方程,求出基本未知量;

(6)按叠加法作出原结构的弯矩图。

例8-1 用位移法计算图8-13所示结构并作M图,E=常数。

图8-13

 

[解] 该结构用位移法分析时有一个结点角位移未知量,基本X如图8-14(a)所示,位移法典型方程为:

图8-14

 

r11Z1+R1P=0

令,绘出图、MP图(图8-14(b)、(c))。由刚结点力矩的平衡条件可求得系数项和X项为:

 

代入典型方程,得:

 

由叠加原理可得最后弯矩图,如图8-14(d)所示。

例8-2 用位移法计算图8-15所示结构并作M图,EI=常数。

图8-15

 

[解] 该结构用位移法分析时有两个结点角位移未知量,基本X如图8-16(a)所示,位移法典型方程为:

图8-16

 

r11Z1+r12Z2+R1P=0

r21Z1+r22Z2+R2P=0

令,绘出图、图、MP图(图8-16 (b)、(c)、(d))。由刚结点力矩的平衡条件可求得系数项和X项为:

 

代入典型方程,得:

 

由叠加原理 -可得最后弯矩图,如图8-16(e)所示。

例8-3 用位移法计算图8-17所示结构并作M图,EI=常数。

图8-17

 

[解] 该刚架横梁刚度为无穷大,在荷载作用下,横梁不会发生弯曲变形,2个竖柱发生弯曲变形,则横梁和竖柱连接的2个刚结点不会发生转动。因此该结构用位移法分析时只在横梁处有1个水平方向的结点线位移,基本X如图8-18(a)所示,位移法典型方程为

图8-18

 

r11Z1+R1P=0

令,绘出图、MP图(图8-18(b)、(c))。由横梁水平方向力的平衡条件可求得系数项和X项为:

 

代入典型方程,得:

由叠加原理可得最后弯矩图,如图8-18(d)所示。

例8-4 用位移法计算图8-19所示结构并作M图,EI=常数。

图8-19

 

[解] 该结构用位移法分析时有1个结点角位移和1个结点线位移未知量,基本X如图8-20(a)所示,位移法典型方程为:

图8-20

 

r11Z1+r12Z2+R1P=0

r21Z1+r22Z2+R2P=0

令,绘出图、图、MP图(图8-20 (b)、(c)、(d))。由刚结点力矩以及立柱竖向力的平衡条件可求得系数项和X项为:

 

代入典型方程,得:

 

由叠加原理 -可得最后弯矩图,如图8-20(e)所示。

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