大虎说事

王大虎: 对称性的利用

王大虎

在力法中已经介绍了如何利用对称性计算超静定结构,并推导出一个重要的结论:对称结构在正对称荷载作用下,其内力和位移都是正对称的;在反对称荷载作用下,其内力和位移都是反对称的。在位移法中同样可以利用这一结论对超静定结构进行求解。当对称结构承受非对称荷载作用时,可将荷载分解为正对称和反对称的两组,分别作用于结构上进行求解,然后再将结果叠加。

如图8-21(a)所示对称刚架承受正对称荷载作用,利用对称性简化为半结构如图8-21(b)所示。该半结构用位移法分析有1个结点角位移基本未知量,位移法基本X如图8-21(c)所示。

图8-21

 

如图8-22(a)所示对称刚架承受反对称荷载作用,利用对称性简化为半结构如图8-22(b)所示。该半结构用位移法分析有1个结点角位移和1个结点线位移基本未知量,位移法基本X如图8-22(c)所示。

图8-22

 

由图8-21和图8-22的结构分析可知,对称结构在正对称荷载作用下用位移法求解只有1个基本未知量;但在反对称荷载作用下若用位移法求解则有2个基本未知量,而用力法分析只有1个基本未知量。因此,对称结构在反对称荷载作用下宜用力法进行求解。

例8-5 图8-23所示结构各杆EI=常数,利用对称性作M图。

图8-23

 

[解] 该结构为对称结构,承受正对称荷载作用,利用对称性简化为半结构。简化后的半结构如图8-24(a)所示,采用位移法分析,该刚架只有1个结点角位移基本未知量,基本X如图8-24(b)所示,位移法典型方程为:

图8-24

 

r11Z1+R1P=0

令,绘出图、MP图(图8-24(c)、(d))。由刚结点力矩的平衡条件可求得系数项和X项为:

r11=7i, R 1P=0.5ql2

代入典型方程,得:

由叠加原理可得半结构弯矩图,如图8-24(e)所示,最后绘出原结构弯矩图如图8-24(f)所示。

 

 

复习参X

 

一、思X

1.位移法的基本未知量和超静定次数有关吗?

2.为什么铰支座处的角位移、定向支座的侧向位移可不选作基本未知量?

3.力法和位移法在基本原理和计算步骤上有何异同?

4.位移法是如何满足平衡条件和位移条件的?

5.在什么条件下独立的结点线位移数目等于铰结链杆X的X度数目?

二、计算题

1.确定题图8-1所示结构位移法基本未知量的数目,并绘出基本结构。

题图8-1

 

2.试用位移法作题图8-2所示等截面连续梁的M图,设EI=常数。

题图8-2

 

3.用位移法计算题图8-3所示结构并作M图,E=常数。

题图8-3

 

4.试用位移法作题图8-4所示刚架的M图。

题图8-4

 

5.试用位移法作题图8-5所示刚架的M图,各杆EI=常数。

题图8-5

 

王大虎

6.用位移法计算题图8-6所示结构并作M图,EI=常数。

题图8-6

 

7.用位移法计算题图8-7所示结构,各杆EI相同。

题图8-7

 

8.用位移法计算题图8-8所示结构并作M图,各杆EI=常数。

题图8-8

 

9.求题图8-9所示结构对应的荷载集度q。图示结构横梁刚度无限大,已知柱顶的水平位移为512/(3 EI)(→)。

题图8-9

 

10.用位移法计算题图8-10所示结构并作M图,各杆EI=常数。

题图8-10

 

11.用位移法计算题图8-11所示结构并作M图,EI=常数。

题图8-11

 

 

计算题参考答案

 

题图8-1 (a)2个角位移1个线位移(b)6个角位移3个线位移

(c)3个角位移1个线位移(d)1个角位移

(e)2个角位移2个线位移(f)1个角位移

题图8-2 M BA=11.57kN·m M BC=-11.57kN·m

题图8-3 MBA=26kN·m MBD=14kN·m

题图8-5

题图8-4 (左侧受拉) (下侧受拉)

题图8-6 MAB=-6.67kN·m MBC=6.67kN·m MDE=-3.33kN·m

题图8-7 MAB=-11.43kN·m MBC=-13.71kN·m MCB=-36.57kN·m

MED=-29.71 k N · m

题图8-8 左柱、右柱下端弯矩为,中柱下端弯矩为

题图8-9 q=3

题图8-10

题图8-11 左柱下端弯矩为

 

王大虎
王大虎

王大虎

第9章 力矩分配法

 

【本章内容概要】

本章主要介绍用力矩分配法计算无结点线位移的连续梁及刚架。要求熟练掌握分配系数的计算方法及力矩分配法的基本原理,即分配的是结点上的外力矩。

【本章学习重点与难点】

学习重点:用力矩分配法计算连续梁的内力。

学习难点:计算作用任意荷载的连续梁。

 

 

9.1 力矩分配法的基本概念

 

力矩分配法是以位移法为基础的计算方法,是位移法的延伸。适用于计算结点只有角位移的结构,如连续梁和无结点线位移的刚架。本章杆端剪力及杆端线位移正负号的规定与位移法相同,外力矩、杆端弯矩及角位移均以顺时针转为正,逆时针转为负。

1.转动刚度

转动刚度表示杆端对转动的抵抗能力。转动刚度用SAB表示,其含义是AB杆件A端的转动刚度。SAB的数值等于使AB杆件A端转动单位角度时需要在A端施加的外力矩。图9-1给出三种等截面单跨梁AB,设i=EI/l,使A端顺时针转动单位转角θA=1时,A端所施加的外力矩MAB的值,即为A端的转动刚度SAB。

图9-1

 

由图9-1可知,转动刚度SAB的值与AB杆件的线刚度i及远端的支撑条件有关。结论如下:

 

由于受弯杆件不考虑轴向变形,图9-1中结构左端的可动铰支座与固定铰支座的作用相同。

2.分配系数

图9-2(a)所示等截面直杆组成的刚架,用位移法计算时,只有一个未知结点角位移Z1,如图9-2(b)所示。由位移法的知识可知,该结构可以看作是由12、13、14三个单跨梁组成,结点1相当于固定端。当结点1顺时针转动单位角度时,由转动刚度的定义,此时结点1处各杆端的弯矩值等于各自杆端的转动刚度。根据叠加原理,当结点1顺时针转动Z1角度时,结点1各杆端的弯矩为:

图9-2

 

 

取结点1为隔离体,如图9-2(c)所示。由平衡方程∑M=0得:

 

将式(a)代入式(b),得:

 

求得:

 

将式(d)代入式(a)得:

 

由式(e)可见,结点1各杆端的弯矩与各自杆端的转动刚度成正比。可用下列公式表示:

 

式中,∑S1i表示汇交于结点1的所有杆件在1端的转动刚度之和。μ1i称为力矩分配系数,它的值永远小于1。交于同一结点的各杆端分配系数的关系为:

∑μ1i=1

即作用在结点1的外力矩M按各杆端的分配系数分配给各杆件的1端,由此,也称各杆件1端的弯矩为分配弯矩。

3.传递系数

图9-2(a)中,各杆件另一端(远端)所产生的弯矩为:

 

 

C1i称为1i杆件1端的传递系数,远端弯矩Mi1称为传递弯矩。传递系数的含义是当杆件近端发生转角时,远端弯矩与近端弯矩的比值。对于不同的远端支撑情况,相应的传递系数也不同。例如:12杆件的远端是定向支座,C12=-1;13杆件的远端是固定端,C13=;14杆件的远端是可动铰支座,C14=0。

式(f)中各杆的远端弯矩可统一写成:

 

王大虎

由式(9-4)可知,作用于结点1的外力矩M将按交于该结点各杆端的分配系数进行分配。因而,不用求解未知的转角位移Z1,而由式(9-4)可直接求得汇交于结点1各杆端的分配弯矩。杆件另一端(远端)的弯矩(传递弯矩)可由式(9-7)计算。

综上所述,对只有一个结点角位移的且只有外力矩作用在结点上的结构,可按如下步骤进行计算:

(1)计算汇交于结点的各杆端分配系数和传递系数;

(2)计算汇交于结点的各杆端的分配弯矩;

(3)将分配弯矩乘上传递系数得到各杆件远端的传递弯矩。

计算过程不需要建立和求解位移法的典型方程。

 

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