王大虎

王大虎:单结点的力矩分配

王大虎

9.2.1 有一个结点角位移的连续梁计算

 

例9-1 试用力矩分配法计算图9-3(a)所示连续梁,并作M图。

图9-3

 

[解] (1)约束结点B。

在结点B加上附加刚臂如图9-3(b)所示,此时,由荷载产生的固端弯矩为:

 

由结点B平衡求得附加刚臂上的反力矩即结点B的不平衡力矩为:

 

(2)放松结点B。

原结构结点B处并没有附加刚臂,也不存在不平衡力矩。因而,若与原结构受力和变形相同,需抵消约束力矩MB的作用。即在结点B处施加一个与MB大小相等转向相反的外力矩-MB,如图9-4(a)所示。进而,用力矩分配法计算结构在-MB作用下的各杆端弯矩。

图9-4

 

杆AB和BC的线刚度均为。

结点B处各杆端转动刚度:

SвA=3i

SвC=4i

由式(9-5)计算分配系数:

 

由式(9-4)计算分配弯矩:

 

由式(9-7)计算传递弯矩:

 

(3)结构的实际受力状态是图9-3(b)与图9-4(a)所示两种情况的叠加。将(1)中各杆端的固端弯矩分别和(2)中各杆端的分配弯矩或传递弯矩叠加,即得出各杆端的最后弯矩,弯矩图如图9-4(b)所示。

以上计算过程可直接在计算简图下列表进行,见表9-1。

表9-1 力矩分配法的计算过程

 

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综上所述,对只有一个结点角位移且作用任意荷载的结构,力矩分配法的计算步骤如下。

(1)计算汇交于结点的各杆端分配系数和传递系数。

(2)固定结点。计算固端弯矩,计算结点的不平衡力矩。

(3)放松结点。分配结点上不平衡力矩的相反数,得到分配弯矩。

(4)各杆端的分配弯矩乘以传递系数得到各杆件远端的传递弯矩。

(5)各杆端最后弯矩=固端弯矩+分配弯矩(或传递弯矩)。

例9-2 试用力矩分配法计算图9-5(a)所示连续梁,并作弯矩图。设支座B向下沉降Δ。

图9-5

 

[解] 结构由于支座位移产生的内力计算与荷载作用下内力计算的不同之处,在于各杆端的弯矩产生的原因不同。本题中结构杆件的杆端弯矩是由于支座位移产生的杆端相对位移引起的。

(1)计算分配系数。

 

(2)计算杆件两端相对线位移产生的杆端弯矩。

 

结点B产生的不平衡力矩(图9-5 (b))为:

 

(3)最后计算杆端弯矩。

将不平衡力矩的相反数加在结点B处进行分配传递,计算过程见表9-2,弯矩图如图9-5(d)所示。

表9-2 力矩分配法的计算过程

注:表中的弯矩值均乘以EIΔ。

9.2.2 有一个结点角位移的刚架计算

例9-3 试用力矩分配法计算图9-6(a)所示刚架,并作弯矩图。杆件EI为常数。

图9-6

[解] 图示刚架中AE杆件是静定部分,在用力矩分配法计算前,可以将其从AE杆件的A截面截开,用内力代替,如图9-6(b)所示。

分析可知,作用在A点的FP不会使结构各杆件产生弯矩,只需要计算由于结点上外力矩FPl的作用而产生的弯矩。

(1)计算分配系数。

(2)计算分配弯矩。

(3)计算传递弯矩。

计算过程如图9-6(c)所示,弯矩图如图9-6(d)所示。

9.3 两个结点的力矩分配

通过上节例题的分析计算可知,用力矩分配法计算有一个结点角位移的结构,可以得到一个精确的解。如果结构有多个结点角位移,如何利用力矩分配法进行计算呢?

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9.3.1 计算有两个结点角位移的连续梁

结合例9-4题的计算过程加以说明。

例9-4 试用力矩分配法计算图9-7(a)所示连续梁,并作弯矩图。

图9-7

[解] 图9-7(a)所示连续梁在B、C两点各有一个结点角位移。用位移法进行计算时,需要在B、C两结点上加附加刚臂,如图9-7(b)所示。此时,B、C两结点上附加刚臂分别产生不平衡力矩MB、MC。力矩分配即是分配B、C两结点上附加刚臂产生的不平衡力矩的相反数。计算过程如下:

(1)计算结点B、C的分配系数。

(2)固定结点B、C,计算固端弯矩。

用附加刚臂固定结点B、C,使它们不能转动,如图9-7(b)所示。此时,荷载作用下各杆端的固端弯矩为:

B、C两结点处的不平衡力矩可根据B、C两结点的力矩平衡求得:

(3)放松结点B固定结点C,进行分配传递。

计算过程与单结点的力矩分配相同。为消除不平衡力矩,先放松结点B,再固定结点C。即在结点B处施加不平衡力矩的相反数,进行分配传递。

在结点B处施加外力矩-MB=100k N · m,计算分配弯矩为:

M BA=0.5 × 100=50(k N · m)

M BC=0.5 × 100=50(k N · m)

分配弯矩乘以相应的传递系数,向A、C端传递,得传递弯矩为:

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此时,结点B平衡,结点C不平衡。

(4)放松结点C,固定结点B,进行分配传递。

当结点B经过一次分配传递平衡后,结点C的不平衡力矩的值等于原来荷载作用下的不平衡力矩MC加上平衡结点B时传递过来的传递弯矩MCB,即:

为消除结点C处的不平衡力矩,固定结点B,放松结点C。即在结点C处施加外力矩,进行分配传递。

得到分配弯矩:

M CB=-0.5 × 45=-22.5(k N · m)

MCD=-0.5 × 45=-22.5(k N · m)

分配弯矩乘以相应的传递系数,得传递弯矩为:

 

此时,结点C平衡。但由于传递弯矩MBC的产生,结点B又不平衡了。

(5)放松结点B,固定结点C,进行二次分配传递。

以上完成了结点B、C各一次分配、传递,结点C平衡,但结点B又出现了新的不平衡力矩M′B,其值等于-11.25kN·m。

为消除,再次固定结点C,放松结点B。在结点B对进行二次分配,并传递到A、C端。

依次放松、固定结点,直到结点上的不平衡力矩小到可以忽略不计为止。即认为此时已消除了刚臂上附加反力矩(不平衡力矩)的作用,与原结构实际受力状态近似。由于分配系数及传递系数都小于1,不平衡力矩消减很快,经过几轮的分配传递后,就会小到可以忽略不计。注意,最后一步不再传递到结点,可以传递到支座。

最后,把每一杆端的固端弯矩、各次的分配弯矩和传递弯矩相加,即求得所有杆件的最后杆端弯矩。

上述分析和计算过程见表9-3,其中弯矩单位为kN·m。最后弯矩图如图9-7(c)所示。由本题的分析计算过程可知,用力矩分配法计算有多个结点角位移的结构,得到的是一个近似解。

表9-3 力矩分配法的计算过程

 

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当有两个及以上结点角位移时,用力矩分配法计算过程中,放松结点的次序可以任意选择,并不影响最后的计算结果。为了减少计算步骤,通常从不平衡力矩绝对值较大的结点开始计算。

综上所述,多结点的力矩分配,实际上就是重复进行单结点力矩分配的计算。现将多结点的力矩分配法计算步骤归纳如下。

(1)计算汇交于各结点的每一杆端的分配系数及传递系数。

(2)求出各杆件的固端弯矩。

(3)轮流放松各结点。每放松一个结点,按分配系数将该结点不平衡力矩的相反数分配给汇交于该结点的各杆端,求出分配弯矩。然后,将分配弯矩乘以传递系数,求出各杆件远端的传递弯矩。依此类推,循环放松结点进行计算,直到结点上的不平衡力矩小到可以忽略不计为止。

(4)将每一杆端的固端弯矩、历次的分配弯矩和传递弯矩相加,求出最后杆端弯矩。

(5)作内力图。

例9-5 用力矩分配法计算图9-8(a)所示连续梁,并作弯矩图。

图9-8

[解] 此连续梁有B、C两个刚结点,用力矩分配法计算时,分配传递要分别在两个刚结点上进行。

(1)计算分配系数。

(2)计算固端弯矩。

分配和传递的过程见表9-4,最后弯矩图如图9-8(b)所示。

表9-4 力矩分配法的计算过程

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9.3.2 计算有两个结点角位移的刚架

 

例9-6 用力矩分配法计算图9-9(a)所示刚架,并作弯矩图。

图9-9

 

[解] 图示刚架有B、C两个刚结点,用力矩分配法计算时,分配传递要分别在两个刚结点上进行。

(1)计算分配系数。

 

(2)计算固端弯矩。

 

 

分配和传递的过程见表9-5,最后弯矩图如图9-9(b)所示。

表9-5 分配和传递的过程

 

综上所述,当结构有n个结点角位移时,用力矩分配法计算,其计算方法与有两个结点角位移的计算方法相同。即逐一放松结点,对该结点上不平衡力矩的相反数进行分配传递,直到精度满足要求。

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9.4 超静定结构计算方法的总结

从第7、第8章到本章我们学习了用力法、位移法、力矩分配法计算超静定结构。其中力法和位移法的比较见表9-6。

表9-6 力法、位移法计算方法比较

本章学习的力矩分配法是位移法的延伸,适用于计算无结点线位移的连续梁和刚架。用哪种计算方法求解超静定结构更合适,需要具体问题具体分析,如下例。

例9-7 计算图9-10(a)所示刚架,并作弯矩图,各杆件EI为常数。

图9-10

 

[解] 图示刚架为对称结构,作用的荷载为一般荷载。首先将荷载进行分组,如图9-10(b)、(c)所示。即图9-10(b)与图9-10(c)所示结构的内力与位移的和与图9-10(a)所示结构的内力及位移相等。

可见,图9-10(b)所示的对称结构作用正对称荷载,可以简化为图9-10(d)所示的结构;图9-10(c)所示的对称结构作用反对称荷载,可以简化为图9-10(e)所示的结构。图9-10(d)所示结构为二次超静定结构,用力法计算有两个未知量;而用位移法计算只有一个未知量,即刚结点A处的角位移。因而,用位移法或力矩分配法计算图9-10 (d)所示结构比较简单。图9-10(e)所示结构为一次超静定结构,用力法计算只有1个未知量;而用位移法计算有两个未知量,即刚结点A处的角位移和水平线位移。因而,用力法计算图9-10(e)所示结构比较简单。

图9-10(a)所示结构为三次超静定结构,如果不利用对称性,用力法计算有3个未知量,用位移法计算也有3个未知量:刚结点A、B处各有一个角位移,结点A、B发生的相同结点水平线位移。因此,本例题比较简便的计算步骤为:

(1)将荷载分组,如图9-10(b)、(c)所示;

(2)利用对称性分别将图9-10(b)、(c)所示结构简化,如图9-10(d)、(e)所示;

(3)对图9-10(d)所示结构用位移法计算,对图9-10(e)所示结构用力法计算;

(4)由图9-10(d)所示结构的弯矩图得到图9-10(b)所示结构的弯矩图,由图9-10(e)所示结构的弯矩图得到图9-10(c)所示结构的弯矩图;

(5)将图9-10(b)所示结构的弯矩图与图9-10(c)所示结构的弯矩图相加,即得到图9-10(a)所示结构的弯矩图。

图9-10(d)所示结构用力矩分配法进行计算时,由于只有一个结点角位移,得到的是精确的解。

计算过程请读者自行完成。

综上所述,用何种计算方法求解超静定结构的基本原则应该是:求解的未知量个数越少越好。

 

 

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